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Goldbach Variaciones Harald Helfgott
Goldbach Variaciones
15 de mayo 2013 |
Harald Helfgott, que publicó a principios de esta semana una prueba de la conjetura de Goldbach ternaria. Imagen: Harald Helfgott.
El lunes, Harald Helfgott de la École Normale de París Supériure publicado una prueba de uno de los más antiguos problemas abiertos en la teoría de números en el repositorio de preimpresión arXiv . La conjetura de Goldbach ternaria, como tantas preguntas en la teoría de números, es fácil de enunciar pero difícil de demostrar. Cada número impar mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos. (Los números primos no tienen factores distintos de ellos mismos y el número 1.) Por ejemplo, 7 = 2 2 3 y 91 = 7 41 43.
La conjetura de Goldbach ternaria a veces se llama la conjetura débil de Goldbach. Las fuertes Conjetura de Goldbach afirma que todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos. Ambas conjeturas se formularon en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler en 1742, de ahí el nombre. Lógicamente, si usted prueba la fuerte conjetura de Goldbach, se obtiene el débil de forma gratuita: si usted tiene un número impar mayor que 5, restar 3 de la misma. Ahora usted tiene un número par mayor que 2. Así que si usted sabe que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos, puede agregar 3 (una prima) a ella para obtener su número impar, descompuesta en la suma de tres primos.
Por desgracia, no funciona a la inversa. Si usted tiene un número impar escrito como la suma de 3 números primos y restar uno de los primos impares, uno se queda con unnúmero par escrito como la suma de dos números primos, pero no hay ninguna garantía de que todos los números pares se mostrará esta manera . Pero la conjetura de Goldbach ternaria sí establece que todo número par se puede escribir como la suma de un máximo de 4 números primos: basta restar cualquier número primo impar (por ejemplo, 3 o 2 57885161 -1 ) del número par que desea dividir , y uno se queda con otro número impar, que ahora sabemos se puede escribir como la suma de tres primos. Esto mejora 1995 teorema de Olivier Ramaré que cada número par es la suma de a lo sumo 6 números primos.
Resultado de Helfgott es una gran cosa, pero no vino como un rayo del cielo. Su obra forma parte de una larga lista de trabajos que utilizan una técnica llamada el método del círculo de Hardy-Littlewood-Vinogradov. (Pegadizo, ¿eh?) La idea muy general del método del círculo es que pasamos una pregunta acerca de un conjunto de números, en este caso los números primos, a una pregunta acerca de integrales sobre los círculos utilizando técnicas procedentes originalmente de análisis en el plano complejo. Parece un poco milagroso que es incluso posible convertir preguntas sobre números enteros, que están espaciados a cabo discretamente en la recta numérica, a preguntas sobre las funciones continuas. "Las cuestiones de la distribución de los números primos, o enteros, se pueden expresar de manera natural en términos de las propiedades de las funciones continuas definidas en función de ellos," Helfgott escribió en un correo electrónico. Una explicación más concreta del método del círculo está más allá de mí, pero si quieres profundizar en ella y sus limitaciones un poco más, puede revisar este post de Terence Tao . No es por la ecuación de aversión.
En la década de 1930, el matemático soviético Ivan Vinogradov estableció que la conjetura de Goldbach ternario es válido para todos, pero un número finito de números impares, por lo que si alguien puede "sólo" comprobar los números impares debajo de un enorme número determinado C, todo estaría bien. No fue sólo el molesto problema que Vinogradov del destino fue del orden de 10 6.846168 millones , un número increíblemente grande de recursos computacionales de hoy, y mucho menos los que están disponibles para Vinogradov. Durante los próximos 70 años más o menos, el límite superior se redujo a alrededor de 10 1346 a partir de 2002, pero todavía era demasiado grande como para manejar.
Helfgott comenzó a trabajar en la conjetura de Goldbach en 2006 como un post-doctorado en Montreal. "Yo había estado tratando de ver lo que algunas formas de demostrar el teorema de Vinogradov serían", escribió en un correo electrónico. "Me di cuenta de que se podía probar que sin el método del círculo", escribió, pero, "no parece posible dar límites razonables C por las pruebas alternativas." Pero los papeles y conversaciones con otros investigadores le dio hace alusión de cómo mejorar los límites que vienen del método del círculo.
Helfgott finalmente logró quitarle el límite superior hasta 10 30 , un tamaño mucho más manejable, y con David Platt, de la Universidad de Bristol, se verificó la conjetura para todos los números por debajo de ese obligado por ordenador. Sin embargo, los recursos computacionales pesadas se dedicaron a probar la hipótesis generalizada de Riemann (GRH) para un número elevado pero finito de casos. La GRH es uno de los problemas sin resolver más importantes en las matemáticas. Si solucionado, ayudaría a entender la distribución de los números primos mucho mejor que nosotros. De hecho, si se probara la GRH, la conjetura de Goldbach ternaria sería un corolario. Pero por el momento, los cheques con ayuda de computadora de GRH para ciertos números son lo mejor que podemos hacer.
Por supuesto, hacer progresos sustanciales en un problema que algunos de los más brillantes matemáticos del siglo pasado han trabajado no fue una tarea fácil. "Había varios callejones ciegos-en un momento tuve que tirar un manuscrito de 50 páginas," escribió Helfgott. "Fue difícil decir por la mitad si el plan realmente tener éxito.Después de todo, si yo hubiera traído C a 10 100 , que aún han sido más grande que el número de partículas subatómicas en el universo multiplicado por el número de segundos desde el Big Bang-no habría habido ninguna posibilidad de comprobar las cosas tan lejos "Helfgott escribió que el seguimiento de los límites expresamente fue una de las partes más difíciles de la obra. "Una cosa molesta sobre el problema fue que resultó no ser el tipo de cosa que podría trabajar en mi cabeza mientras que en el cine o en un concierto (no esté de mí)", escribió. "Yo tuve algunas buenas ideas en la ducha, sin embargo."
El artículo de Helfgott no ha sido revisado aún, pero los teóricos número parecen ser optimistas de que el teorema realizará el escrutinio. Por desgracia, no proporciona mucha iluminación en la fuerte conjetura de Goldbach. Terence Tao, que demostró el año pasado que todo número par se puede escribir como la suma de un máximo de cinco números primos, escribió en Google Plus que "el método del círculo es muy poco probable que sea capaz de resolver la conjetura de Goldbach, incluso por sí mismo." Helfgott escribió que el problema es esencialmente que la fuerte conjetura de Goldbach requeriría información asintótica estimaciones más refinada acerca de los valores de ciertas cantidades-en los puntos clave, en lugar de los límites superiores gruesos disponibles a través de los métodos actuales.
Le pregunté Helfgott cómo había celebrado su logro. "Bueno, le di una charla sobre esto ayer, y luego me llevaron a cenar por los lugareños, como suele suceder cuando uno visita un lugar para dar una charla. Mis padres vienen a visitar ahora, por lo que será un buen momento para tomar un breve descanso. "Helfgott está comprensiblemente aliviado de tener esta gran final del proyecto y volver a su rutina normal, que incluye el estudio no matemática también. "A veces me enfrenté a la difícil disyuntiva de trabajar en la noche o prepararse para un examen de ruso en vez", escribió. "Esperemos que voy a estar poniendo al día sobre las lenguas ya que esto se hace." Helfgott es fluido en Inglés, francés, español, alemán y esperanto, y de acuerdo con su blog de "necesita urgentemente a la práctica" polaco, quechua (una lengua indígena en su país de origen Perú) y ruso. *
El título de este post es una alusión a la de Bach Goldberg Variations . Sólo puedo esperar que Vi Hart u otra persona con talento está escribiendo una canción sobre la conjetura de Goldbach con la melodía del tema de las Variaciones Goldberg. Mientras tanto, aquí hay un artículo de Wired de 2012 sobre una visualización fresco de las notas.
* Esta frase fue editado después de la publicación. Helfgott me escribió para corregir la lista de los idiomas que habla. También me envió una foto más reciente de sí mismo, que he añadido a la parte superior del poste.
jueves, 23 de mayo de 2013
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